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Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

• Allgemeines

• Alternative Darstellungen

• Eigenschaften

• Differenzierbarkeit

• Integration

• Siehe auch

• Weblinks

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle x = 0 {\displaystyle x=0} überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Θ Θ : : R → → { 0 , 1 } x ↦ ↦ { 0 : x < 0 1 : x ≥ ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta \colon \;&\mathbb {R} \to \{0,1\}\\\ &x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\1:&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls [ 0 , + ∞ ∞ ) {\displaystyle [0,+\infty )} der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt Θ Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} auch davon abweichende Notationen geläufig:

• H ( x ) {\displaystyle H(x)} , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.

• s ( x ) {\displaystyle s(x)} und σ σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} nach der Bezeichnung Sprungfunktion.

• u ( x ) {\displaystyle u(x)} nach der Bezeichnung englisch unit step function.

• Auch ϵ ϵ ( x ) {\displaystyle \epsilon (x)} wird häufig verwendet.

• In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol 1 ( x ) {\displaystyle 1(x)} .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von x = 0 {\displaystyle x=0} den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle x = 0 {\displaystyle x=0} kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

Θ Θ c : : R → → K x ↦ ↦ { 0 : x < 0 c : x = 0 1 : x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{c}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {K} \\\,&x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\c:&x=0\\1:&x>0\end{cases}}\end{aligned}}}

mit 0 , 1 , c ∈ ∈ K {\displaystyle 0,1,c\in \mathbb {K} } . Es kann K {\displaystyle \mathbb {K} } also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch K = [ 0 , 1 ] ⊂ ⊂ R {\displaystyle \mathbb {K} =[0,1]\subset \mathbb {R} } verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann Θ Θ c ( 0 ) = c {\displaystyle \Theta _{c}(0)=c} ist.

Durch die Wahl c := 1 2 {\displaystyle c:={\tfrac {1}{2}}} und folglich Θ Θ 1 2 ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(0)=\textstyle {\frac {1}{2}}} erreicht man, dass die Gleichungen

Θ Θ 1 2 ( x ) = 1 2 ( sgn ⁡ ⁡ ( x ) + 1 ) {\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {sgn} {(x)}+1)} und damit auch

Θ Θ 1 2 ( − − x ) = 1 − − Θ Θ 1 2 ( x ) {\displaystyle \Theta _{\frac {1}{2}}(-x)=1-\Theta _{\frac {1}{2}}(x)}

für alle reellen x {\displaystyle x} gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

Θ Θ ( x ) = − − lim ε ε → → 0 1 2 π π i ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ 1 τ τ + i ε ε e − − i x τ τ d τ τ {\displaystyle \Theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \varepsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\,\mathrm {d} \tau }

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

Θ Θ ( x ) = lim ε ε → → 0 1 π π [ arctan ⁡ ⁡ ( x ε ε ) + π π 2 ] {\displaystyle \Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\left[\arctan \left({x \over \varepsilon }\right)+{\pi \over 2}\right]}

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

d d x Θ Θ ( x ) = δ δ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\Theta (x)=\delta (x)}

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man Θ Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} und δ δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} geeignet approximiert, z. B. durch

Θ Θ ε ε ( x ) := { 0 x < ( − − ε ε ) ( 1 2 + x 2 ε ε ) | x | ≤ ≤ ε ε 1 x > ε ε , {\displaystyle \Theta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&x<(-\varepsilon )\\\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varepsilon }}\right)&|x|\leq \varepsilon \\1&x>\varepsilon \,,\end{cases}}}

sowie

δ δ ε ε ( x ) := { 0 | x | > ε ε 1 2 ε ε | x | ≤ ≤ ε ε , {\displaystyle \delta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&|x|>\varepsilon \\{\frac {1}{2\varepsilon }}&|x|\leq \varepsilon \,,\end{cases}}}

wobei jeweils der Grenzwert lim ε ε ↘ ↘ 0 {\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}} betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen x < 0 {\displaystyle x<0} und x ≥ ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} aus der Fallunterscheidung in der Definition:

• Für x > 0 {\displaystyle x>0} gilt ∫ ∫ − − ∞ ∞ x Θ Θ ( t ) d t = ∫ ∫ − − ∞ ∞ 0 0 d t + ∫ ∫ 0 x 1 d t = ∫ ∫ 0 x 1 d t = [ t ] 0 x = x {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}0\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x} .

• Für x ≤ ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt ∫ ∫ − − ∞ ∞ x Θ Θ ( t ) d t = ∫ ∫ − − ∞ ∞ x 0 d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}0\,\mathrm {d} t=0} .

Zusammengenommen gilt also

∫ ∫ − − ∞ ∞ x Θ Θ ( t ) d t = { 0 , falls x ≤ ≤ 0 x , falls x > 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}x\leq 0\\x&{\text{,}}&&{\text{falls }}x>0\end{alignedat}}\right.}

beziehungsweise

∫ ∫ − − ∞ ∞ x Θ Θ ( t ) d t = max { 0 , x } = x ⋅ ⋅ Θ Θ ( x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}=x\cdot \Theta (x)} .

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

∫ ∫ Θ Θ ( x ) d x = max { 0 , x } + C = x ⋅ ⋅ Θ Θ ( x ) + C {\displaystyle \int \Theta \!\left(x\right)\,\mathrm {d} x=\max \left\{0,x\right\}+C=x\cdot \Theta (x)+C} .

• Sprungantwort

• Schwellenwert (Elektronik), Schwellenwertverfahren

• Rechteckfunktion

• Föppl-Klammer

• Vorzeichenfunktion

• Fermi-Verteilung

• Eric W. Weisstein: Heaviside Step Function. In: MathWorld (englisch).